Jerzy Matyjasek

Wykład z kosmologii

zbiór zadań

wykład

Przydatna literatura

James B. Hartle, Grawitacja

Robert M. Wald, General Relativity

Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology

Leszek M. Sokołowski, Wstęp do Analizy Tensorowej

Patrick Peter i Jean-Philippe Uzan, Primordial Cosmology

George F. R. Ellis, Roy Maartens i Malcolm A. H. MacCallum, Relativistic Cosmology

Jerzy Plebański i Andrzej Krasiński, An Introduction to General Relativity and Cosmology

Uzupełnienia i pytania do wykładu z kosmologii

23 06 2020

Na dzisiejszym wykładzie zajmowaliśmy się rozwiązaniem deSittera w kontekscie modelu inflacyjnego. Badaliśmy własności potencjału Colemana-Weinberga. Zajmowaliśmy się również promieniowaniem reliktowym i dyskutowaliśmy dane obserwacyjne.

23 06 2020

Na dzisiejszym wykładzie badaliśmy konsekwencje wprowadzenia członu kosmologicznego. Pytanie: który ze scenariuszy znajduje potwierdzenie w zgromadzonym dotąd meteriale obserwacyjnym?

22 06 2020

Dodając (dodatnią) stałą kosmologiczną do równań Einsteina mamy \begin{equation} 3 \frac{\dot{a}^{2} + k}{ a^{2}} + \Lambda = 8\pi \rho \end{equation} i \begin{equation} 2\frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^{2}}{a^{2}}+ \frac{k}{a^{2}} -\Lambda = -8 \pi p. \end{equation} W przypadku Wszechświata pyłowego (\( \alpha=0\)) gęstość energii zmienia się odwrotnie proporcjonaline do trzeciej potęgi czynnika skali. Istotnie, całkująć kowariantną zasadę zachowania dostaniemy \begin{equation} \rho = \frac{C}{a^{3}(t)}, \end{equation} gdzie \(C\) jest(nieujemną) stałą całkowania. Wynika z tego, że ewolucję czynnika skali określają rozwiązania równania różniczkowego \begin{equation} \left(\frac{da(t)}{dt}\right)^{2} = \frac{c_{1}}{a(t)} -k + \frac{1}{ 3}\Lambda a^{2}(t) =F(R). \end{equation} Równanie to można rozwiązać w sposób ścisły wykorzystując funkcje eliptyczne. My jednak ograniczymy się tutaj do analizy jakościowej. Najpierw zajmijmy się przypadkiem \( k=-1\). Ponieważ jednal nie interesuje nas tutaj ujemna stała kosmologiczna, mamy do przeanalizowania tylko jedno rozwiązanie. Zauważmy, że funkcja \(F(a)>0\) i osiąga minimum dla \(a_{min} = (3c_{1}/2\Lambda)^{1/3}\). Łatwo pokazać (odrzucając odpowiednie wyrazy), że gdy \(t \to 1\) \begin{equation} a(t)\sim \left( \frac{9 c_{1} t^{2}}{4} \right)^{1/3}, \end{equation} natomiast dla \(t \to \infty\), mamy \begin{equation} a(t) \sim \exp\left[ t (\Lambda/3)^{1/2}\right]. \end{equation} Z przeprowadzonej właśnie analizy wyłania się prosty obraz ewolucji modelu. Początkowo tempo ekspansji maleje, aż do wartości \( a_{min} \) a następnie rośnie. Natępnym interesującym nas przypadkiem jest model przestrzennie płaski (\(k =0)\). Rozwiązaniem jest funkcja \begin{equation} a(t) = \frac{3c_{1}}{2\Lambda}\left\{ \cosh\left[(3 \Lambda)^{1/2} t\right] -1\right\}. \end{equation} Proszę przeanalizować przypadek \(k=1.\)

8 06 2020

Uwaga: przeszliśmy z komunikatora jitsi do teams. Dzisiejszy wykład poświęcony był jakościowemu rozwiązywaniu równań Einsteina. W pierwszym przypadku założyliśmy, że stała kosmologiczna \(\Lambda\) znika, natomiast w drugim badaliśmy konsekwencje \(\Lambda > 0\). Ponieważ obserwacje sugerują, że tempo ekspansji Wszechświata rośnie, to właśnie modele z członem kosmologicznym wydają się lepiej do nich pasować. Uzupełnienia do dzisiejszego wykładu zostaną zamieszczone (po opracowaniu) nieco później.

28 05 2020

Wykład był poświęcony konstrukcji elementu liniowego \begin{equation} ds^{2} = -dt^{2} + a^{2}(t)\left[ \frac{d r^{2}}{1-k r^{2}} + r^2 d\theta^{2} + r^{2}\sin^{2}\theta d\phi^{2}\right], \end{equation} gdzie \begin{equation} k = \begin{cases} 1 & \text{dla} \,\,\ S^{3}\\ 0 & \text{dla} \,\, E^{3}\\ -1 & \text{dla} \,\, H^{3}, \end{cases} \end{equation} opisującego nasz model Wszechświata. Funkcja \( a(t)\) jest nazywana czynnikiem skali. Niezerowe składowe tensor Einsteina mają postać \begin{equation} G_{t}^{t} = -3 \frac{\dot{a}^{2} + k}{ a^{2}} \end{equation} \begin{equation} G_{r}^{r} = G_{\theta}^{\theta} = G_{\phi}^{\phi} = -\left( 2\frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^{2}}{a^{2}}+ \frac{k}{a^{2}}\right). \end{equation} (Proszę sprawdzić). Równania Einsteina mają więc postać \begin{equation} \frac{\dot{a}^{2} + k}{ a^{2}} = \frac{8 \pi}{3} \rho \end{equation} i \begin{equation} 2\frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^{2}}{a^{2}}+ \frac{k}{a^{2}}= -8 \pi p \end{equation} Mamy dwa równania rózniczkowe angażujące trzy nieznane funkcje. Dodatkowych informacji dostarcza równanie stanu \( p = \alpha \rho \). Czasami wygodnie jest pracowac z kowariantną dywergencją tensora energii-pedu. W naszym przypadku (proszę to pokazać) dla jedynej nieznkającej składowej mamy: \begin{equation} \nabla_{a}T^{a}_{t} = \frac{1}{a^{3\alpha+3}}\frac{d}{dt}\left( \rho a^{3 \alpha+3}\right) =0. \end{equation} Na wszelki wypadek przypominam tez postać jednokrotnie kowariantnego i jednokrotnie kontrawariantnego tensora energii-pedu płynu doskonałego \begin{equation} \begin{pmatrix} - \rho & 0 & 0 & 0\\ 0 & p & 0 & 0\\ 0 & 0 &p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end{pmatrix} \end{equation} Proszę przeczytać podrozdział 111 z II tomu Kursu Fizyki Teoretycznej (Teoria Pola) L. D. Landaua i E. M. Lifszyca. Na wykladzie skonstruowaliśmy element liniowy Fridmanna (Robertsona-Walkera) w postaci podanej powyżej.

20 05 2020

Dzisiejszy wykład poświęcony był konstrukcji tensora energii-pędu płynu doskonałego. W razie niejasności proszę przeczytać rozdział 3 tekstu. Dokładne, prowadzone krok po kroku obliczenia możecie Państwo znaleźć tutaj. Zajmowaliśmy się również równaniami Einsteia, a w szczególności współczynnikiem proporcjonalności między tensorem Einsteina i tensorem energii-pędu. Szczegółowe obliczenia zawarte są w tym pliku. Zachęcam do przeprowadzenia analogicznych obliczeń w Maximie. Dziękuję za obecność!

14 05 2020

Przypominam Państwu ustalenia z dzisiejszego tutorialu. Dyskutowaliśmy kilka problemów związanych z tensorem energii-pędu płynu doskonałego \(T_{a}^{b}\). Proszę przetransformować tensor \(T_{a}^{b}\) do dowolnego układu. Proszę przygotować pytania i uzgodnić termin naszego następnego spotkania, które poświęcone będzie aspektom obliczeniowym. Zademonstruję jak stosować pakiety algebry symbolicznej w Ogólnej Teorii Względności. Dziękuję za 100% "obecność".

11 05 2020.

Przypominam o konieczności terminowego nadsyłania rozwiązań.

A. Dzisiaj przedstawimy dwie ważne konstrukcje. Najpierw zajmiemy się tensorem energii-pędu płynu doskonałego. Zdefinujmy najpierw transfromację Lorentza \[ \Lambda_{0}^{0} = \gamma \] \[ \Lambda_{0}^{\mu} = \Lambda_{\mu}^{0} = \gamma v^{\mu} \] \[ \Lambda_{\nu}^{\mu} = \delta_{\mu \nu} + \frac{v^{\mu}v^{\nu}}{v^{2}}(\gamma-1) \] a nastepnie przetransformujemy tensor \begin{equation} \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0\\ 0 & p & 0 & 0\\ 0 & 0 &p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end{pmatrix} \end{equation} z układu, w którym element cieczy spoczywa do układu odniesienia poruszającego się względem układu wyjściowego z prędkością \(v \). Otrzymany wynik należy następnie uogólnić do układu dowolnego. W wyniku powinniśmy otrzymać \[ T^{ab} = p g^{ab} + (p + \rho) U^{a} U^{b}.\] Innymi słowy, proszę uzupełnić konstrukcję przedstawioną tutaj.

B. W oparciu o wskazówki zawarte w pliku proszę skonstruować wariację grawitacyjnej części działania.

Państwa prace muszą być przesłane do 18 maja.

27 04 2020.

Wykład 5c. Nowa (rozszerzona i uzupełniona) wersja wykładu. Dowodzimy, że przestrzeń jest płaska wtedy i tylko wtedy jeżeli tensor krzywizny znika. Definiujemy ważne tensory, a mianowicie tensor Ricciego i skalar krzywizny. Możemy z nich zbudowac lewą stronę równań Einsteina \begin{equation} G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2}R g_{ab}. \end{equation} Analizując ruch ciał próbnych w tunelu wywierconym w Ziemi i przechodzącym przej jej środek pokazujemy, że \begin{equation} \begin{pmatrix} R^{1}_{\phantom{i}010} & R^{1}_{\phantom{i}020} & R^{1}_{\phantom{i}030}\\ R^{2}_{\phantom{i}020} & R^{2}_{\phantom{i}020} & R^{2}_{\phantom{i}020}\\ R^{3}_{\phantom{i}030} & R^{3}_{\phantom{i}030} & R^{3}_{\phantom{i}030} \end{pmatrix} = \frac{4 \pi G}{3 c^{2}} \rho \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix} \end{equation} Pamiętamy, że rzucając ciała z wieży (tak jak Joannes Philoponos, Simon Stevin czy też Galileusz) dostaniemy \begin{equation} \begin{pmatrix} R^{1}_{\phantom{i}010} & R^{1}_{\phantom{i}020} & R^{1}_{\phantom{i}030}\\ R^{2}_{\phantom{i}020} & R^{2}_{\phantom{i}020} & R^{2}_{\phantom{i}020}\\ R^{3}_{\phantom{i}030} & R^{3}_{\phantom{i}030} & R^{3}_{\phantom{i}030} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{ G M}{c^{2} R_{z}^{3}} & 0 & 0\\ 0 & \frac{ G M}{c^{2} R_{z}^{3}} & 0\\ 0 & 0& -\frac{2 G M}{c^{2} R_{z}^{3}} \end{pmatrix} \end{equation}

20 04 2020.

Wykład 5b. Przygotowałem dla Państwa nieco obszerniejszy tekst wykładu i jego uzupełnienie. Uzupełnienie jest zapisem sesji z pakietem Maxima. Zamieszczam tutaj - ze względów dydaktycznych - plik pdf a nie notatnik, więc osoby zainteresowane muszą wpisać odpowiednie polecenia samodzielnie! Nadal zajmujemy się tensorem krzywizny. (Proszę przestudiować również strony 29-46 z mojego wykładu.) Naszym największym osiągnięciem jest skonstruowanie równania dewiacji geodezyjnej \begin{equation} \frac{D^{2} n^{i}}{d\tau^{2}} + R^{i}_{\phantom{i}jkl} u^{j} n^{k} u^{l} = 0, \end{equation} gdzie \[u^{i} = \frac{dx^{i}}{d\tau}. \] Udało się nam również przeprowadzić pierwszą (najtrudniejszą) część dowodu twierdzenia, które orzeka, że jeżeli tensor krzywizny znika w pewnym obszarze, to obszar ten jest płaski. Na razie wyprowadziliśmy formułę \begin{equation} \delta A_{i} =\frac{1}{2}R^{a}_{\phantom{a}ikj} \,A_{a}\oint_{\mathcal{C}} x^{k} dx^{j}. \end{equation} A tak przy okazji, proszę przypomnieć sobie dowód tw. Stokesa, który przedstawiłem Państwu na wyładzie z metod matematycznych fizyki.

Zadanie: Proszę wyznaczyć (różne od zera) składowe tensora krzywizny dla metryki \[ ds^{2} = -\left(1- \frac{2M}{r}\right)dt^{2} + \left(1+ \frac{2M}{r}\right) \left(dx^{2} + dy^{2} +dz^{2}\right), \] gdzie \[r^{2} = x^{2}+y^{2}+x^{2}.\] Wskazówka: proszę przetransformować element liniowy do wspólrzędnych sferycznych. Wyniki należy przesłać do 27 kwietnia. Proszę nie używać pakietów algebry symbolicznej!

Wskazówka (27 04 2020). Przetransformowany element liniowy ma postać \begin{equation} ds^{2} = -\left( 1- \frac{2 M}{r}\right) dt^{2} + \left(1+ \frac{2M}{r} \right)\left(dr^{2} + r^{2} d\theta^{2} + r^{2} \sin^{2}\theta d\phi^{2} \right), \end{equation} a interesujące nas składowe tensora krzywizny Riemanna to: \[ R_{trtr},\,\,R_{t\theta t\theta},\,\,R_{t\phi t\phi},\,\,R_{r\theta r\theta},\,\,R_{r\phi r\phi}\,\rm{i} \,\,R_{\theta\phi\theta\phi}.\]

06 04 2020.

Wykład 5a. Treścią wykładu jest tensor krzywizny (tensor Riemanna) i jego własności. proszę uważnie przestudiować moje notatki i rozwiązać zadania. Do odczytania notatek można użyć programu djview. Odpowiedzi na pytania należy dostarczyć do 13 kwietnia.

30 03 2020.

1. W naszych analizach wykorzystujemy jedynie koneksję symetryczną i zgodną z metryką. Proszę wyprowadzić związek transformacyjny koneksji przy zmianie układu współrzędnych, a następnie wykazać, że zawsze możemy wprowadzić taki układ współrzędnych, że w każdym z góry zadanym punkcie współczynniki obiektu koneksji (a co za tym idzie pochodne cząstkowe tensora metrycznego) znikają. Wskazówka: \begin{equation} \nabla_{i} g_{jk} =0 \implies \frac{\partial}{x^{i}} g_{jk} = \Gamma^{m}_{\ i j}g_{m k} + \Gamma^{m}_{\ i k} g_{j m}=0. \end{equation} Słuszne jest też twierdzenie ogólniejsze, orzekające, że zawsze możemy wprowadzić taki układ współrzędnych, w którym współczynniki obiektu koneksji znikają wzdłuż danej linii świata. (Dowód jest nieco bardziej skomplikowany.) Układy takie nazywamy układami lokalnie inercjalnymi.

2. Rozważmy dwóch obserwatorów, z których jeden zwiazany jest ze swobodnie spadającą windą, a drugi siedzi na schodach. Obserwator w windzie używa układu współrzędnych \(\{ \xi^{i} \}\) a równanie spełniane przez rzucane przez niego kawałki kredy ma postać \begin{equation*} \frac{d^{2}\xi^{i}}{d\tau^{2} } =0. \end{equation*} Obserwator ten zna też związki transformacyjne pomiędzy swoimi współrzędnymi i współrzędnymi obserwatora związanego ze schodami: \begin{equation*} \xi^{i} = \xi^{i} (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}). \end{equation*}

Proszę pokazać, że w układzie związanym ze schodami, to znaczy we współrzędnych \(\{ x^{i}\}\) równanie ruchu kredy ma postać \begin{equation*} \frac{d^{2}x^{i}}{d\tau^{2} } + \tilde{\Gamma}^{i}_{\, j k} \frac{dx^{j}}{d\tau} \frac{dx^{k}}{d\tau} =0, \end{equation*} gdzie \begin{equation*} \tilde{\Gamma^{i}}_{\,jk} = \frac{\partial^{2}\xi^{a}}{\partial x^{j}\partial x^{k}} \frac{\partial x^{i}}{\partial \xi^{a}} . \end{equation*}

Uwaga, parametr \(\tau\) jest taki sam w obu układach, bowiem \begin{equation*} - d\tau^{2} = ds^{2} = g_{ab} dx^{a} dx^{b}. \end{equation*} Proszę wykazać równość \begin{equation*} \Gamma^{i}_{\, jk} = \tilde{\Gamma^{i}}_{\,jk}, \end{equation*} gdzie \begin{equation*} \Gamma^{i}_{\, jk} = \frac{1}{2} g^{i a}\left( \frac{\partial g_{a k}}{\partial x^{j}} + \frac{\partial g_{j a}}{\partial x^{k}} - \frac{\partial g_{jk}}{\partial x^{a}} \right). \end{equation*}

16 03 i 23 03 2020.

Uzupełnienia do wykładu 3 i 4 Morfologia Wszechświata. Wykład ten obejmuje mniej więcej pierwszych 18 stron mojego tekstu. W tej części wykładu omawiam w sposób zwięzły zarówno najbliższe sąsiedztwo Układu Słonecznego jak i obszary odległe od nas o miliardy lat świetlnych. Proszę przestudiować uważnie diagram przedstawiający gwiazdy znajdujące się w odległości kilku lat świetlnych. Widzimy, że poza układem α Centauri, nie ma w nim gwiazd masywnych. Ale to tylko najbliższe sąsiedztwo, można powiedzieć - tuż za rogiem. Proszę również przeanalizować diagram, który przedstawia zmiany odległości (w latach świetlnych) kilku bliskich gwazd w okresie 100000 lat. Poziomy szary pasek to Obłok Oorta. Pewne wyobrażenie daje również trójwymiarowy model.

Układ Słoneczny znajduje się na peryferiach naszej Galaktyki, typowej spiralnej galaktyki z poprzeczką. We wspólrzędnych galaktycznych płaszczyzną podstawową jest płaszczyzna dysku galaktycznego, a kierunek podstawowy to kierunek do centrum Galaktyki. (GNP i GSP to odpowiednio galactic north pole i galactic south pole). W centrum Galaktyki znajduje się supermasywna czarna dziura. (Pytanie: proszę podać racjonalne argumenty uzasadniające to stwierdzenie). Przygotowalem dla Państwa (pracowicie wyliczony w maximie) rysunek przedstawiający orbity siedmiu gwiazd okrążających centralną czarną dziurę. Proszę zidentyfikować gwiazdy na moim rysunku, porównując odpowiednie orbity z rysunku. Jedną z nich jest gwiazda S0-102 (S55) uwzględniana tylko na jednym z rysunków. Dla zainteresowanych: proszę przeanalizować tabelę zawierającą parametry orbit gwiazd w bezpośrednim sąsiedztwie centralnej czarnej dziury. (Przypominam, że parametry orbity były przez nas analizowane na I roku).

Nasza Galaktyka należy do Lokalnej Grupy Galaktyk, której charakterystyczny rozmiar to około \(10 \times 10^6\) lat świetlnych. W grupie tej mamy trzy duże galaktyki (naszą Galaktykę, M31 i M33), 47 galaktyk karłowatych (ich spis można znaleźć tutaj). Co więcej, pewna liczba galaktyk prawdopodobnie również należy do Grupy Lokalnej.

Lokalna Grupa Galaktyk należy do Supergromady Lokalnej (Supergromady w Pannie), zajmującej obszar o rozmiarach ok \(2\times 10^{8}\) lat świetlnych. Przestrzenny rozkład galaktyk w Supergromadzie jest dosyć nierównomierny. Natomiast rozkład przestrzenny materii wokół niej ujawnia inne supergromady, włókna (filaments) i pustki (voids).

Zajmijmy się teraz naprawdę wielkoskalową strukturą Wszechświata. Liczne obserwacje, jak na przykład zliczanie kwazarów w dwóch przeciwległych obszarach (o wymiarach \(75^{\circ} \times 5^{\circ}\)) na sferze niebieskiej, a następnie graficzne przedstawienie ich położeń w funkcji kąta i odległości sugeruje, że rozkład materii postrzegany w wielkich skalach nieco się porządkuje. Ważną i odważną idealizacją (pozwalającą) na dosyć prosty matematycznie opis Wszechświata jest przyjęcie zasady kopernikańskiej (zasady kosmologicznej), która w swej skrajnej formie może być wyartykułowana jak następuje: wszystkie miejsca we Wszechświecie są równoważne, to znaczy, że fizyczne i geometryczne własności Wszechświata nie zależą od miejca obserwacji. Nadawanie sensu temu stwierdzeniu będzie pochłaniało znaczną część naszego wykladu. Ale zanim to nastąpi, będziemy musieli zrozumieć dlaczego do opisu Wszechświata i jego ewolucji często wystarcza jedynie kilka równań: $$ R_{ab} -\frac{1}{2} R g_{ab} + \Lambda g_{ab} = \frac{8\pi G}{c^{4}} T_{ab} $$ $$ T_{ab} = p g_{ab} + (p + \rho) u_{a} u_{b} $$ $$ p = \alpha \rho $$ No może jeszcze jedno.