for (i=0;i<L;i++)
    for(j=0;j<L;j++)
        for(k=0;k<L;k++)
            lattice[i][j][k] = Math.random()<p?1:0;

1 powtarzaj konfig = 1 aż do N
2    utwórz konfigurację
3    przeanalizuj konfigurację
4    wylicz interesujące wielkości
5    dodaj odpowiadające wyniki
6 wykonaj uśrednianie

9.3. Przykład liczbowy. Wyliczmy, w przybliżeniu, całkę

I= ⌠ ⌡ π//2 0 sinx dx .

Jej dokładna wartość jest

⌠ ⌡ π//2 0 sinx dx=−cosx|0π//2=1 .

Wykorzystamy w obliczeniach dwie różne wielkości losowe ξ: o stałej gęstości p(x)=2//π (tzn. ξ ma jednorodny rozkład w przedziale 0, 2//π)) i o gęstości liniowej p(x)=8x//π². Obie te gęstości wraz z funkcją sinx pokazuje rys. 27, z którego widzimy, że gęstość liniowa bardziej odpowiada zaleceniu z p. 9.2 o tym by p(x) i |sinx| były proporcjonalne. Z tego względu wydaje się, że drugi sposób oblczeń da lepszy wynik. 1. Niech p(x)=2//π. Formułę wybierania ξ można otrzymać z (24) dla a=0, b=π//2:

ξ = (π//2)γ .

Wzór (34) przyjmie postać

I ≈ π 2N N ∑ j=1 sinξj .

Niech N=10. Jako wartości γ użyjemy trójek liczb z Tab. A, pomnożonych przez 0.001. Pośrednie wyniki przedstawiono w Tab. 1. Wynik obliczeń jest I ≈ 0.952. 2. Niech teraz p(x)=8x//π². W celu wybrania ξ wykorzystamy (23):

⌠ ⌡ ξ 0 8x π dx=γ ,

skąd, po prostych rachunkach, otrzymamy

ξ = (π//2) √ γ .

Wzór (34) jest

I ≈ π2 8N N ∑ j=1 sinξj ξj .

Niech N=100. Weźmiemy te same liczby losowe γ jak w przypadku 1. Wyniki pośrednie przedstawia Tab. 2. Wynik obliczeń jest I ≈ 1.016. Jak przypuszczaliśmy, wynik rachunku jest w tym przypadku dokładniejszy. 3. Z wartości przedstawionych w Tab. 1 i 2, można w przybliżeniu wyliczyć dyspersje Dη dla obu metod obliczeń (patrz wzór z p. 6.1). Metoda 1:

Dη ≈ π2 9·4 ⎡ ⎣ 10 ∑ j=1 (sinξj)2− 1 10 ⎛ ⎝ 10 ∑ j=1 sinξj ⎞ ⎠ 2 ⎤ ⎦ = π2 10 (4.604−3.670)=0.256 .

Metoda 2:

Dη ≈ π2 9·4 ⎡ ⎣ 10 ∑ j=1 ⎛ ⎝ sinξj ξj ⎞ ⎠ 2 − 1 10 ⎛ ⎝ 10 ∑ j=1 sinξj ξj ⎞ ⎠ 2 ⎤ ⎦ = π4 576 (6.875−6.777)=0.016 .

Nie zwracając uwagi na to, że wartość N=10 jest niewielka i że nie gwarantujemy przybliżonej normalności oszacowania (34), wyliczmy dla obu metod wielkość 0.6745√{Dη/Ń}. Otrzymamy wartości 0.103 i 0.027. Łatwo zauważyć, że faktyczne błędy absolutne przy obliczeniach I równe 0.048 i 0.016 są wielkościami też tego rzędu. Zauważmy, że dokładne wartości Dη są w rozpatrywanym przykładzie równe 0.233 i 0.0166. W ten sposób, również oszacowania dyspersji pokazują, że metoda 2 okazała się dokładniejszą niż metoda 1.

Oznaczmy mianowicie przez η i η′ wielkości losowe, dające liczbę (wagę) neutronów, które przeszły przez płytkę, i zostały otrzymane dla jednej trajektorii metodą p. 7.2, i metodą p. 7.3. Z fizycznego punktu widzenia

Mη = Mη′=p+ .

(Dokładny dowód tego faktu można znaleźć w [3].) Ponieważ η może przyjmować tylko wartości 0 i 1 to rozkład η jest postaci

η ∼  ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 p+ 1−p+ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ .

Biorąc pod uwagę, że η²=η, łatwo pokazuje się, że Dη = p⁺−(p⁺)². Zauważmy, że wielkość η′ może przyjmować nieskończenie wiele wartości: w₀, w₁, w₂, ..., w_k, ..., a także wartość 0. Z tego względy jej tablica rozkładu ma postać

η′ ∼  ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ w0 w1 w2 ... wk ... 0 q0 q1 q2 ... qk ... q ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ .

Wartości q_k nie są dla nas ważne, gdyż zawsze można podać wyrażenie dla dyspersji

Dη′= ∞ ∑ k=0 wk2qk−(p+)2

i oszacować ją. Ponieważ wszystkie w_k ≤ 1, więc

∞ ∑ k=0 wk2qk ≤ ∞ ∑ k=0 wkqk=Mη′=p+ ,

skąd wynika, że Dη′ ≤ p⁺−(p⁺)². Mamy więc Dη′ ≤ Dη.