Podstawa: Bender, Orszag, Rozdział I.

1  Przegląd typów równań różniczkowych zwyczajnych

Równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rządu zapisujemy w postaci
y(n)(x) = F[x, y(x), y′(x),...,y(n−1)(x)] .
(1)
Fynkcja F może w ogólności być funkcją nieliniową względem y i pochodnych y. Poniżej, skrót rr oznacza równanie różniczkowe.

1.1  Równania separowalne

P r z y k ł a d 1.  Separowalne rr.
y′(x)=a(x)b(y) .
Rozwiązanie ogólne dostaniemy wykonując bezpośrednie całkowanie
⌠
⌡ 		y

 
 dt
b(t)
 = ⌠
⌡ 		x

 
 a(s) ds + c1 .

1.2  Równania jednorodne i niejednorodne

Liniowe rr zwyczajne.
Ly(x) = f(x) ,
gdzie
L=p0(x)d/dx + ... pn−1dn−1/dxn−1 + dn/dxn
nazywa się jednorodnym jeśli f(x)=0 i niejednorodnym w przypadku f(x) ≠ 0.

1.3  Równania nieliniowe

Przykładem nieliniowego równania różniczkowego jest równanie Riccatiego.
P r z y k ł a d 2. Równanie Riccatiego.
y′= A2
x4
 − y2
ma ogólne rozwiązanie
y(x) = 1
x
 + A
x2
 c1−e2A/x
c1+e2A/x
  .

1.4  Równania bezskalowe

Równania, których nie zmienia transformacja x→ a x, gdzie a jest stałą, są tzw. równaniami bezskalowymi.
P r z y k ł a d 3. 
y"=y y′/x .
Rozwiązaniem ogólnym jest
y(x) = 2c1 tan(c1 lnx + c2) − 1) .
Istnieje specjalne rozwiązanie tego równania, mianowicie y=c3, którego nie da się otrzymać z rozwiązania ogólnego.

1.5  Układy równań pierwszego rzędu

Równanie (1) jest równoważne układowi równań pierwszego rzędu. Wprowadzając oznaczenie yk(x) = dk/dxk, (k=0, 1, 2, ..., n−1)
d
dx
 yk(x) = yk+1(x),,    k=1,2,...,n−2 ,

d
dx
 yn−1(x) = F[x, y(x), y′(x),...,y(n−1)(x)] .
Odwrotnie, układ równań pierwszego rzędu
dzk
dx
 = fk(x, z1, z2,...,zn),    k=1,2,... n ,
można zapisać w postaci równania różniczkowego n-tego rzędu. Różniczkując kolejno z1 po x dostaniemy
dj
dxj
 zj = f(j)1(x, z1, z2,...,zn) ,    j=1,2,...,n .)

1.6  Zagadnienie początkowe i brzegowe

W zagadnieniu początkowym stałe, które pojawiają się w rozwiązaniach równań różniczkowych wyznacza się na podstawie zadanych y i n−1 pochodnych y′,..., y(n−1) w jednym punkcie x = x0
y(x0)=a0 ,    y′(x0)=a1 ,...,y(n−1)=an−1 .
W zagadnieniu brzegowym, stałe wyznacza się z bardziej złożonych warunków, np.
y(x1)=a0, y′(x2)=a2,...,y"′(x1)+[y(x2)]2=a5] ,
itd. Zagadnienie brzegowe jest w swojej naturze zagadnieniem globalnym. Problemy początkowe są zazwyczaj łatwiejsze od problemów brzegowych. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności obu zagadnień dokładnie określają warunki przy których zagadnienia te są rozwiązywalne. Nie będziemy się tym problemem zajmować. Słuchaczy odsyłamy do bogatej literatury przedmiotu.
P r z y k ł a d 4. Zagadnienia początkowe z jednoznacznym rozwiązaniem.
(a) y′=sin(xy) [y(0)=1]
(b) y′=(x+y)x2y2 [y(0)=1]
(c) y′=exx/y [y(0)=1]
(d) y"=y2+ex [y(0)=y′(0)=0]
(e) y"′=exyy′ [y(0)=y′(0)=y"(0)=0]
Pomimo tego, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania, nie znamy ich analitycznej postaci.
W przypadku gdy F nie jest funkcją ciągłą wówczas twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania może nie być spełnione.
P r z y k ł a d 5.  Niejednoznaczne rozwiązania równania różniczkowego: y′=y1/3[y(0)=0]. Równanie to ma dwa rozwiązania y=0 i y=(2x/3)3/2.

2  Elementy teorii jednorodnych równań różniczkowych

Dokonamy krótkiego przeglądu teorii liniowych jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych.

2.1  Niezależność liniowa rozwiązań

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego
y(n)+pn−1(x)y(n−1)+...+p0(x)y=0 ,
(2)
jest postaci
y(x)= n
∑
j=0 
 cjyj(x) 
(3)
gdzie cj są stałymi całkowania, a funkcje {yj(x)} tworzą zbiór liniowo niezależnych rozwiązań równania (2). W obszarze gdzie współczynniki p0(x), ...,p(n−1) są ciągłymi funkcjami x, istnieje dokładnie n liniowo niezależnych rozwiązań równania (2).

2.2  Wrońskian

Wrońskianem nazywamy wyznacznik
W(x)=W[y1(x),y2(x),...,yn(x)]= det
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
y1
y2
...
yn
y1′
y2′
...
yn′
y1(n−1)
y2(n−1)
...
yn(n−1)
 ⎞
⎟
⎟
⎟
⎠ 		 ,
(4)
gdzie {yj(x)} jest zbiorem funkcji określonych na zadanym przedziale I. Wrońskian znika tożsamościowo na I wtedy i tylko wtedy gdy funkcje {yj(x)} są na I liniowo zależne. Jeśli {yj} są liniowo niezależne, wówczas W(x) nie znika, z wyjątkiem, być może, punktów izolowanych.
P r z y k ł a d 6.  Zależność liniowa. Ponieważ W[ex, e−x, coshx] ≡ 0 dla wszystkich x, więc funkcje {ex, e−x, coshx} tworzą zbiór funkcji liniowo zależnych.
P r z y k ł a d 7.  Niezależność liniowa. W celu sprawdzenia czy rozwiązanie y(x)=c1ex + c2(1+x)x równania y" − y′(1+x)/x + y/x = 0 jest ogólne, obliczamy Wrońskian: W[1+x, ex]=xex. W[] znika tylko w punkcie x=0. Stąd wnosimy, że dla wszystkich x, funkcje {1+x, ex} są liniowo niezależne.
Jednorodne równania liniowe posiadaję bardzo ważną własność: Wrońskian W dla dowolnych n rozwiązań równania spełnia proste równanie pierwszego rzędu
W′(x) = −pn−1(x) W(x) .
Jego rozwiązanie (z dokładnością do stałego czynnika) nosi nazwą formuły Abela-Liouville'a
W(x)=exp[−pn−1(t) dt] .
(5)
Wynika stąd, że Wrońskian można obliczyć bez znajomości rozwiązań jednorodnego, liniowego równania różniczkowego.

Z a d a n i e 1.  Pokazać słuszność wzoru Abela-Liouville'a (5).

3  Równania niejednorodne

Niejednorodne liniowe równania różniczkowe są tylk trochę trudniejsze od równań jednorodnych. Jest tak dlatego, iż różnica dowolnych dwu rozwiązań równania Ly=f(x) jest rozwiązaniem równania Ly=0. Dlatego rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą dowolnego rozwiązania szczególnego równania Ly=f(x) i ogólnego rozwiązania równania Ly=0.
P r z y k ł a d 8.  Znając rozwiązania y=x, y=x2 i y=x3 równania Ly=f(x) drugiego rzędu można, nie znając L oraz f skonstruować rozwiązanie ogólne. Ponieważ różnice x−x2 i x2−x3 są rozwiązaniami równania Ly=0 i są liniowo niezależne, więc ogólnym rozwiązaniem równania Ly=0 jest y=c1(x−x2)+c2(x2−x3). Ogólnym rozwiązaniem równania Ly=f(x) jest natomiast y = c1(x−x2) + c2(x2−x3) + x.
Równania różniczkowe pierwszego rzędu rozwiązuje się znajdując dla nich czynnik całkujący I(x). Jest to funkcja tylko zmiennej x. Dla równania y′(x)+p0(x)y(x)=f(x) czynnik całkujący jest równy y(x)=exp[∫xp(t)dt]. Mnożąc równania przez I(x) dostajemy I(x)y′+p0(x)y(x)I(x)=(d/dx)[I(x)y(x)]=I(x)f(x). Całkowanie daje
y(x)= c1
I(x)
 + 1
I(x)
 ⌠
⌡ 		x

 
 f(t)I(t)dt .
P r z y k ł a d 9.  Równanie y′=y/(x+y) nie jest liniowe w Y lecz jest liniowe w x. Pokazuje to zmiana zmiennej niezależnej x ze zmienną zależną y.
d
dy
 x(y)= x(y)+y
y
  .
Czynnik całkujący jest równy I(y)=1/y. Stąd (d/dy)(x/y)=1/y i x(y)=ylny+c1.
Istnieje wiele technik standardowych rozwiązywania niejednorodnych równań wyższych rzędów. Są to: Metody te scharakteryzowane są w części: Metody rozwiązywania równań

4  Problemy własne

Problemami własnymi nazywamy problemy brzegowe, które posiadają nietrywialne rozwiązania tylko dla specjalnych wartości parametru, powiedzmy E, od którego zależy równanie.
P r z y k ł a d 10.  Prosty problem własny. Równanie
y"+Ey=0 [y(0)=y(1)=0] ,
(6)
posiada dla każdego E trywialne (zerowe) rozwiązanie y(x)=0. Tylko dla specjalnych wartości E istnieją rozwiązania niezerowe.
E=En=(nπ)2 ,    y(x)=Ansinnπx ,     n=1,2,...
(7)
Funkcje sinnπx są funkcjami własnymi, a En są wartościami własnymi równania. Łatwo pokazać, że nie istnieją inne wartości własne. Ogólnym rozwiązaniem równania (6) jest y=Asin(x√E) + Bcos(x√E). Z warunku y(0)=0 wynika, że B=0, natomiast warunek y(1)=0 prowadzi do równania Asin√E=0. Jeśli A=0 to y(x) ≡ 0, a więc jest to rozwiązanie zerowe. Warunkiem na istnienie rozwiązań niezerowych jest sin√E=0 lub E=(nπ)2 (n=1,2,3,...) Zauważymy, że E=0 nie jest wartością własną bo wtedy y(x) ≡ 0.
Jeśli E jest wartością własną jednorodnego zagadnienia brzegowego, wówczas rozwiązanie nie jest jednoznaczne. Oprócz rozwiązania y(x)=0 istnieje nieskończenie wiele rozwiązań ędących iloczynem stałei i funkcji własnej. Z drugiej strony, jeśli E nie jest wartością własną, to to rozwiązanie trywialne y(x) ≡ 0 jest jednoznaczne.
P r z y k ł a d 11. 
y"+Ey=0 [y(0)=0 , y′(1)=0],.
Ogólnym rozwiązaniem spełniającym warunek y(0)=0 jest y(x)=Asin(x√E). Warunek y′(1)=0 wymaga aby A√Ecos√E = 0. Stąd, wartości własne są równe E=(1/2π)2, (3/2π)2, (5/2π)2,...
P r z y k ł a d 12.  Zagadnienie własne na dziedzinie nieskończonej.
y"+(E−1/4x2)y=0 , −∞ < x < ∞, [y(±∞)=0] .
Jest to tzw. oscylator kwantowy. Dla każdego E problem posiada rozwiązanie trywialne y(x)=0. Wartości własne równania są E=1/2, 3/2, 5/2, ... Wartości własnej E=n+1/2 odpowiada funkcja własna
y(x) = A Hn(x) e−x2/4 ,
gdzie A jest stałą, a Hn(x) są wielomianami Hermite'a stopnia n [H0(x)=1, H1(x)=x, H2(x)=x2−1, ...] Wartości E=n+1/2 są jedynymi wartościami własnymi równania.
P r z y k ł a d 13. Transcendentne wartości własne. Ogólnym rozwiązaniem równania
y"+(E−x)y = 0 , (0 ≤ x < ∞) [y(0) = 0 , y(∞) = 0]
znikającym w nieskończoności, jest
y(x) = A Ai(x−E) ,
gdzie Ai są funkcjami Airy'ego. Warunek brzegowy y(x) = 0 daje równanie na wartości własne
Ai(−E) = 0,.
Otrzymane równanie na funkcje własne jest równaniem transcendentnym i zera musimy wyznaczyć numerycznie. Oto kilka pierwszych, przybliżonych zer równania na wartości własne: E0=2.333 , E1=4.088 , E2=5.521 , E3=6.787 , E4=7.944 ,E5=9.023.
P r z y k ł a d 14.  Skończona liczba wartości własnych zagadnienia własnego. W przypadku równania
y" + (E + v sech2x)y = 0 ,    y→0  przy  |x|→∞ ,
liczba wartości własnych jest skończona. Są one dane równaniem
E = − 1
4
 (2n + 1 −   ____
√
1+4V
 
 )2 ,
gdzie V = (√[(1+4V)])/2 i n jest liczbą całkowitą. Dokładne rozwiązanie dyskutowanego tutaj równania własnego można znaleźć w podręczniku Landaua i Lifszyca, §23.
P r z y k ł a d 15. Zagadnienie własne Sturma-Liouville'a. Problem własny
a(x)y" + b(x)y′+ c(x)y +d(x)Ey(x) = 0 ,    [y(α)=y(β)=0]
można zawsze przetransformować do tzw. problemu Sturma-Liouvilla postaci
d
dx
 [p(x) dy
dx
 + [q(x) + Er(x)]y = 0 ,     [y(α)=y(β)=0] .
Dowodzi się, że jeśli
p(x) > 0 ,    q(x) ≤ 0 ,   α ≤ x ≤ β ,
to istnieje nieskończenie wiele wartości własnych E=E0, E1, E2,..., które wszystkie są rzeczywiste i dodatnie. Funkcje własne yn , (n=10, 1, 2,...) można znormalizować tak, że tworzą one układ ortonormalny względem funkcji wagowej r(x
⌠
⌡ 		β

α 
 r(x)yn(x)ym(x) dx = δmn .
P r z y k ł a d 16.  Zagadnienie własne Schrödingera. Jeśli V(x) jest funkcją dodatnią taką, że
V(x)→∞  przy  |x|→∞
to problem własny Schrödingera
−y"(x) + V(x)y(x) = Ey(x) ,    y(±∞) = 0
ma nieskończenie wiele dodatnich wartości własnych - energii cząstki w potencjale V(x). Istnieje wąska grupa funkcji V - potencjałów, dla których problem posiada rozwiązania analityczne.

5  Równania różniczkowe w płaszczyźnie zespolonej

Niezależną zmienną zespoloną będziemy oznaczać przez z. W obszarze gdzie istnieją pochodne zespolone y′(z) funkcji y(z), zarówno funkcja y(z) jak i jej wszystkie pochodne są funkcjami analitycznymi. Ogranicza to rodzaje równań różniczkowych, które można sformułować na płaszczyźnie zespolonej.
P r z y k ł a d 17.  Równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Równanie dy/dx=|x| ma sens na osi rzeczywistej. Jego rozwiązaniem jest y(x)=1/2x|x|+c1. W przypadku zmiennej zespolonej z, równanie to traci sens gdyż y′=|z| nie jest funkcją analityczną, a zapisując y′(z) rozumiemy, że zarówno y(z) jak i y′(z) są analityczne.
W ogólnym przypadku, zapis dy/dz = g(z) ma sens wtedy gdy w jakimś obszarze funkcja g(z) jest analityczna.

File translated from TEX by TTH, version 4.08.
On 23 Dec 2015, 13:48.