1  Klasyfikacja osobliwości liniowych równań różniczkowych zwyczajnych

Rozważamy równanie
y(n)(x) + pn−1y(n−1)(x)+...+p1(x)y′(x)+p0(x)y(x) = 0 .
(1)
Zmienna niezależna x może być rzeczywista lub urojona. Definicja 1 Punkt x0 nazywamy zwykłym lub zwyczajnym punktem równania gdy wszystkie współczynniki p0(x), p1(x),...,pn−1(x) są w jego otoczeniu funkcjami analitycznymi.
P r z y k ł a d 1.  a) Równanie y"=exy. Wszystkie punkty tego równania z wyjątkiem x0=∞ są punktami zwykłymi gdyż funkcja ex jest holomorficzna.
b) Wszystkie punkty x0 równania x5y"′ = y, z wyjątkiem punktu x0=0 są punktami zwyczajnymi.
c) Równanie y′=|x| y nie posiada punktów zwykłych w zespolonej płaszczyźnie x ponieważ x nie jest nigdzie analityczna w zespolonej płaszczyźnie x.
Fuchs udowodnił (1866), że wszystkie liniowo niezależne rozwiązania (1) są analityczne w otoczeniu punktu zwyczajnego. Rozwiązanie w otoczeniu x0 można rozwinąć w szereg Taylora. Promień zbieżności szeregu jest co najmniej równy odległości do najbliższej osobliwości któregoś ze współczynników pi(x) równania (1). Osobliwości rozwiązania równania pokrywają się z osobliwościami jego współczynników. Rozwiązanie w punkcie zwyczajnym x0 ma więc postać
y(x) = ∞
∑
n=0 
 an (x−x0)n .
(2)
P r z y k ł a d 2.  Szeregi Taylora w obszarze punktów zwyczajnych. Równanie (x2+1)y′+2xy=0 posiada punkt zwyczajny w x0=0. Rozwiązanie y=c/(1+x2) można tu rozwinąc w szereg Taylora o promieniu zbieżności równym 1. Jest to odległość do osobliwości współczynnika (stojącego przy y′), x=±i.
Definicja 2 Punkt x0 nazywa się regularnym punktem osobliwym (RPO) równania jeśli nie wszystkie współczynniki pk(x) równania są w jego otoczeniu analityczne, natomiast analitycznymi w otoczeniu x0 są iloczyny (x−x0)n−k pk(x), gdzie k=1, 2, ..., n.
P r z y k ł a d 3.  a) Równanie (x−1)y"′=y posiada RPO w punkcie x=1.
b) Równanie x2y"+xy′=y ma RPO w x=0.
c) x3y′=(x+1)y nie posiada RPO w x=0.
Rozwiązanie równania (1) może być analityczne w RPO. Jeśli nie jest analityczne to jego osobliwość jest biegunem, osobliwością logarytmiczną albo algebraicznym punktem rozgałęzienia. Fuchs pokazał, że zawsze istnieje co najmniej jedno rozwiązanie postaci
y(x)=(x−x0)α A(x) ,
(3)
gdzie A(x) jest funkcją analityczną i posiada rozwinięcie Taylora o promieniu zbieżności, który jest co najmniej równy odległości do najbliższej osobliwości.
P r z y k ł a d 4.  Szereg Taylora w otoczeniu RPO. Równanie y′=y/sin  hx posiada RPO w zerze. Rozwiązanie y(x)=c tan  h(x/2) jest analityczne lecz posiada bieguny w punktach x=±iπ. Promień zbieżności jest więc równy π. Jest to odległość do najbliższej osobliwości funkcji 1/sin  hx w płaszczyźnie zespolonej.
Jeśli równanie (1) jest rzędu n ≥ 2 to istnieje drugie, liniowo niezależne rozwiązanie. Może ono mieć jedną z następujących postaci
y(x) = (x−x0)β B(x) ,
(4)
lub
y(x) = (x−x0)α A(x) ln(x−x0) + C(x)(x−x0)β ,
(5)
gdzie funkcje A(x), B(x), C(x) są analityczne. W ogólności, każde liniowo niezależne rozwiązanie (n-te) jest postaci
y(x)=(x−x0)γ n−1
∑
i=0 
 [ ln(x−x0)i Ai(x)] ,
(6)
gdzie Ai(x) są analityczne w otoczeniu x0. Fuchs udowodnił, że jeśli istnieje n rozwiązań postaci (3) do (6) wówczas w najgorszym razie x0 jest RPO równania. Definicja 3 Punkt x0 (x0 ≠ ∞) nazywa się nieregularnym punktem osobliwym równania (1) (w skrócie NPO) jeśli nie jest to ani punkt zwyczajny równania ani regularny punkt osobliwy. W NPO rozwiązania mogą posiadać istotną osobliwość często w połączeniu z biegunem albo rozgałęzieniem algebraicznym lub logarytmicznym. Nie jest to jednak regułą. Pewne rozwiązania mogą nie posiadać osobliwości i mogą być analityczne w NPO.

1.1  Klasyfikacja punktów x0=∞

Stosując transformację x=1/t, można odwzorować punkt x0=∞ w zero
x
=
1
t
  ,
d
dx
=
−t2 d
dt
  ,
d2
dt2
=
t4 d2
dt2
 +2t3 d
dt
  .
 
...
Zamiast klasyfikować ∞ klasyfikujemy punkt zerowy otrzymanego równania. Punkt x0=∞ nazywa się PZ, RPO lub NPO jeśli takim punktem jest punkt t=0.
P r z y k ł a d 5.  Rozpatrzmy następujące równania. Z lewej strony podane są równania oryginalne, a zprawej przetransformowane do współrzędnej t=1/x.
(a)
dy
dx
 − 1
2
 y=0 ,
    dy
dt
 + y
2t2
(7)
(b)
dy
dx
 − 1
2x
 y=0 ,
    dy
dt
 + y
2t
 =0 ,
(8)
(c)
dy
dx
 − 1
2x2
 y=0 ,
    dy
dt
 + y
2
 =0 .
(9)
(a) Każdy punkt (7) jest PZ z wyjątkiem ∞. Punkt ∞ jest NPO. Rozwiązanie y(x) = c exp(x/2) jest analityczne z wyjątkiem punktu x=∞.
(b) Każdy punkt równania (8) z wyjątkiem punktów 0 i ∞ jest PZ. Punkty 0 i ∞ są RPO. Rozwiązanie y(x) = c x1/2 jest analityczne wszędzie z wyjątkiem punktu rozgałęzienia w x0 = 0 oraz x0=∞.
(c) Z wyjątkiem punktu x0=0, który jest NPO, punkty równania (9) są PZ. Rozwiązanie y(x) = c e−1/2x jest analityczne wszędzie wyjąwszy punkt x0=0.
P r z y k ł a d 6.  Szereg Taylora w otoczeniu punktu zwykłego. Równanie y′(x)=y/(x−1) posiada regularny punkt osobliwy w x0=1 i w x0=∞. Rozwiązanie y=c/(1−x) ma biegun w 1 i ∞. Promień zbieżności szeregu Taylora w otoczeniu x0=0, y=c∑n=0∞ xn jest równy 1, a odleg/lość do osobliwości wynosi 1.
P r z y k ł a d 7.  Szereg Taylora, który zbiega się w kole o promieniu większym niż odległość do najbliższej osobliwości. Równanie (x−1) (2x−1) y"+2 x y′− 2y = 0 posiada RPO w punktach 1/2, 1, ∞. jednym z rozwiązań równania jest y(x)=1/(x−1). Szereg Taylora tego rozwiązania w otoczeniu punktu zwyczajnego x=0 ma promień zbieżności większy niż odległość do x=1/2 lecz psuje się przy |x|=1. Drugim liniowo niezależnym rozwiązaniem jest y=x. Jego szereg Taylora jest zbieżny dla wszystkich x.
P r z y k ł a d 8.  Istotnie osobliwe zachowanie w pobliżu nieregularnego punktu osobliwego. Równanie y"+3y′/2x+y/4x3=0 ma NPO w x=0 oraz RPO w ∞. Dwa liniowo niezależne rozwiązania równania są dane przez y(x)=sin(1/√x), y(x)=cos(1/√x). Oba rozwiązania posiadają istotną osobliwość w zerze. Pierwsze z nich posiada również rozgałęzienie w zerze i w nieskończoności. Drugie z rozwiązań nie posiada rozgałęzień i jest analityczne w x=∞.
P r z y k ł a d 9.  Szereg Taylora zbieżny poza najbliższą osobliwość. równanie (x−1) (2x−1) y" + 2 x y′−2 y = 0 posiada punkty osobliwe regularne 1/2, 1 i ∞. Jednym z jego rozwiązań jest y(x) = 1/(x−1). Rozwinięcie Taylora rozwiązania w zerze zbiega się poza najbliższą osobliwość równą 1/2.
P r z y k ł a d 10.  Istotnie osobliwe zachowanie w pobliżu NPO. Równanie y" + 3y′/2x + y/4x3 = 0 posiada NPO w punkcie zero oraz osobliwy punkt regularny w ∞. Dwa liniowo niezależne rozwiązania równania dane są przez y(x) = sin(1/√x) i y(x) = cos(1/√x). Oba posiadają istotną osobliwość w punkcie zero. Pierwsze posiada rozgałęzienie w x=0 i x=∞. Drugie jest bez rozgałęzień i jest analityczne w ∞.
P r z y k ł a d 11.  Rozwiązanie analityczne w pobliżu osobliwości. W otoczeniu RPO lub NPO jedno lub kilka rozwiązań megą być analityczne. Równanie y" + (1−x)y′/x −y/x = 0 posiada RPO w x=0 oraz NPO w x=∞. Jedno z rozwiązań y(x) = (ex − 1 − x)/x jest analityczne w x=0, lecz posiada istotną osobliwość w x=∞. Liniowo niezależne, drugie rozwiązanie równania jest y(x) = (1 + x)/x. Posiada ono biegun w zerze lecz jest analityczne w nieskończoności.
P r z y k ł a d 12.  Równanie y" − (1−x) y′/x +y/x = 0 ma RPO w x=0 i NPO w x=∞. Jego oba liniowo niezależne rozwiązania y(x) = ex, y(x) = 1 + x są analityczne w x=0. Pierwsze posiada istotną osobliwość w x=∞.
W ogólności, wszystkie liniowo niezależne rozwiązania mogą być analityczne w RPO, lecz co najmniej jedno z rozwiązań może być osobliwe w NPO. Czasami udaje się zmienić charakter osobliwości równania różniczkowego poprzez zastosowanie transformacji zmiennej niezależnej lub zmiennej zależnej.
P r z y k ł a d 13.  Usunięcie osobliwości metodą transformacji zmiennej niezależnej. NPO równania y′−[1/2] x−1/2 y = 0 w x=0 znika jeśli wprowadzimy zmienną t=x1/2. Prowadzi to do równania −y + [dy/dt] = 0. Równanie to ma w zerze punkt zwyczajny.
P r z y k ł a d 14.  Usunięcie osobliwości metodą transformacji zmiennej zależnej. Równanie
y" + 2
x
 y′− y = 0
posiada RPO w x=0 oraz NPO w x=∞.RPO w zerze można usunąć przez transformację y(x) = w(x)/x, gdzie w(x) spełnia równanie w" − w = 0, które wciąż jednak posiada osobliwość w (NPO) x=∞.

1.2  Lokalne zachowanie się rozwiązań w pobliżu punktów zwyczajnych jednorodnych LRR

W przypadku gdy punkt jest punktem zwyczajnym równania jego rozwiązanie jest analityczne i w otoczeniu PZ można je zapisać w postaci szeregu Taylora
y(x) = ∞
∑
n=0 
 an (x−x0)n.
Po wstawieniu szeregu do równania otrzymuje się ciąg zależności na współczynniki an. Stąd znajduje się an.
P r z y k ł a d 15.  Rozwiązanie w PZ równania różniczkowego. Punkt x=0 równania y′ = 2 x y jest PZ. Rozwiązania szukamy więc w postaci y = ∑an xn. Po podstawianiu do równania otrzymamy
∞
∑
n=0 
 n an xn−1 = 2 x ∞
∑
n=0 
 an xn
lub inaczej
∞
∑
n=0 
 n an xn−1 = 2 ∞
∑
n=2 
 an−2 xn−1 .
Z powodu jednoznaczności rozkładu funkcji w szereg Taylora wynika, że współczynniki przy potęgach x po obu stronach równości są jednakowe. Stąd
n a0 = 0 ,     n=0,1 ,

n an = 2 an−2 ,    n=2,3,...
i dalej
y(x) = a0 ∞
∑
n=0 
 x2n/n! = a0 exp(x2) .
P r z y k ł a d 16.  Równanie Airy'ego. Rozważmy rozwiązanie równania y" = x y w punkcie x=0. Jest to punkt zwyczajny. Podstawimy więc
y(x) = ∞
∑
n=0 
 an xn .
Otrzymamy
∞
∑
n=0 
 an n (n−1) xn−2 = ∞
∑
n=0 
 an xn+1 .
Porównując współczynniki przy równych potęgach x otrzymamy
an n (n−1)
=
0 ,     n=0, 1, 2,
an n (n−1)
=
an−3 ,     n=3, 4, ...
Współczynniki a0 i a1 są dowolnymi stałymi, a a2=0. Dalej
a3n
=
a0
3n(3n−1)(3n−3)(3n−4)...9·8·6·5·3·2
=
a0
3n n! 3n (n−1/3)(n−1−1/3)(n−2−1/3)...(5/3)(2/3)
=
a0Γ(2/3)
3n n! 3n Γ(n+2/3)
  .
Podobnie,
a3n+1 = ... = a0Γ(4/3)
3n n! 3n Γ(n+4/3)
  .

a3n+2 = 0 .
Jeśli zdefiniujemy c1=a0Γ(2/3), c2=a1Γ(4/3), to ogólnym rozwiązaniem równania Airy'ego jest
y(x) = c1 ∞
∑
n=0 
 x3n
9nn!Γ(n+2/3)
 + c2 ∞
∑
n=0 
 x3n+1
9nn!Γ(n+4/3)
  .
Otrzymaliśmy dwa liniowo niezależne rozwiązania pomnożone przez dowolne stałe całkowania (pomimo tego, że rozpoczęliśmy od jednego szeregu Taylora). Promień zbieżności szeregu jest nieskończony gdyż równanie Airy'ego nie posiada punktów osobliwych w płaszczyźnie zespolonej. Stałe c1 i c2 wyznacza się z warunku początkowego dla x=0
c1 = Γ(2/3) y(0) ,       c2 = Γ(4/3) y′(0) ,
lub numerycznie z warunków zadanych inaczej. Standardowo zdefiniowane liniowo niezależne rozwiązania równania Airy'ego są następujące:
Ai(x) = 3−2/3 ∞
∑
n=0 
 x3n
9nn!Γ(n+2/3)
 − 3−4/3 ∞
∑
n=0 
 x3n+1
9nn!Γ(n+4/3)

Bi(x) = 3−1/6 ∞
∑
n=0 
 x3n
9nn!Γ(n+2/3)
 + 3−5/6 ∞
∑
n=0 
 x3n+1
9nn!Γ(n+4/3)
  .
Funkcje Ai(x) i Bi(x) noszą nazwę funkcji Airy'ego.

Z a d a n i e 1.  Napisz program sumowania szeregów dla funkcji Airy'ego z określoną dokładnością ϵ > 0. Narysuj funkcje Ai oraz Bi. Funkcje Airy'ego mają duże zastosowanie w analizie zaburzeniowej równań różniczkowych. Współczynniki c1 i c2 są tak wybrane, że Ai(x) maleje wykładniczo przy x→∞, a Bi(x) jest przesunięte w fazie względem Ai(x) o π/2 przy x→−∞.

1.3  Rozwinięcia lokalne w pobliżu RPO

P r z y k ł a d 17.  Szereg Taylora nie wystarcza do opisu rozwiązań w pobliżu RPO. Sprawdzimy to na podstawie równania y"+y/4x2=0. Wstawiając tu szereg y=∑an xn otrzymamy szereg zerowy!
Wyniki Fuchsa sugerują, że w regularnych punktach osobliwych rozwiązanie ma postać y(x) = (x−x0)α A(x), gdzie A(x) jest funkcją analityczną w otoczeniu x0. Oznacza to, że możemy zapisać
y(x) = (x−x0)α A(x) = (x−x0)α ∞
∑
n=0 
 an (x−x0)n .
Prawa strona nosi nazwę szeregu Frobeniusa. Umownie zakłada się, że a0 ≠ 0, co jest zapewnione przez właściwy wybór α. Szereg Taylora jest szczególnym przypadkiem szeregu Frobeniusa.
P r z y k ł a d 18.  Lokalna analiza RPO. Zastosujmy szereg Frobeniusa w x0=0 w przypadku równania z poprzedniego przykładu y" + y/4 x2 = 0. Mamy
[(n + α) (n + α− 1) +1/4 ] an = 0 ,     n=0, 1, 2, ...
Ponieważ zakładamy a0 ≠ 0 to
α(α− 1) +1/4 = 0 .     (n=0)
Stąd α = 1/2. Pozostałe równania dają a1 = a2 = a3 = ... = 0. Szereg Frobeniusa jest więc y(x) = a0 √x, gdzie a0 jest dowolne.
Teoria szeregów Frobeniusa gwarantuje znalezienie tylko jednego rozwiązania. Problem drugiego, liniowo niezależnego rozwiązania wymaga dodatkowej analizy.

1.4  Metoda Frobeniusa-Fuchsa dla równań drugiego rzędu

Jeżeli równanie
y" + p(x)
x−x0
 y′+ q(x)
(x−x0)2
 y = 0
(10)
posiada regularny punkt osobliwy (RPO) w x0 to p(x) i q(x) są analityczne w x0. Możemy rozwinąć p(x) i q(x) w szereg Taylora w otoczeniu punktu x0: p(x) = ∑pn(x−x0)n, q(x) = ∑qn(x−x0)n. Wstawiając do równania (10) i porównując współczynniki przy jednakowych potęgach, dostaniemy
(x−x0)α−2
:
    [α2 + (p0 − 1) α+ q0] a0 = 0 ,
(11)
(x−x0)n+α−2
:
    [(α+ n)2 + (p0 − 1)(α+ n) +q0] an
    = − n−1
∑
k=1 
 [(α+ k)pn−k + qn−k] ak .
(12)
Ponieważ z założenia a0 ≠ 0 to α jest pierwiastkiem równania
P(α) = α2 + (p0−1)α+ q0 .
(13)
Następnie rozwiązujemy rekurencję (12). Zauważmy, że lewą stronę (12) można zapisać w postaci
P(α+k) an .
Rozwiązanie (12) istnieje więc tylko wtedy dla k < n gdy P(α+k) ≠ 0. Jeśli warunek ten jest spełniony dla wszystkich dodatnich n to szereg Frobeniusa jest zbieżny w kole o promieniu równym odległości do najbliższej osobliwości p(x) lub q(x).
P r z y k ł a d 19.  Zmodyfikowane równanie Bessela rzędu ν. Równanie
y" + 1
x
 y′−(1 + ν2
x2
 ) y = 0 ,
(14)
posiada RPO w punkcie x=0. Podstawmy y(x) = ∑an xn+α. Dostaniemy:
∞
∑
0 
 (α+n)(α+n−1)anxn+α−2 + ∞
∑
0 
 (α+n) an xα+n−2 − ∞
∑
0 
 an xα+n −ν2 ∞
∑
0 
 an xα+n−2 .
Porównując współczynniki przy xk dostaniemy
xα−2
:
    (α2 − ν2) a0 = 0 ,
xα−1
:
    [(α+1)2 − ν2] a1 = 0 ,
xα+n−2
:
    [(α+n)2−ν2] an = an−2 ,     n=2, 3, ...
Ponieważ a0 ≠ 0 to α = ±ν. Z tego powodu, że ν występuje w kwadracie, możemy założyć, że ℜν ≥ 0. Oznaczmy α1=+ν, α2=−ν. Mamy stąd P(α1+n) ≠ 0 dla n=1, 2, ... i wszystkie an można łatwo wyznaczyć.
a1 = a3 = a5 = ... = 0 ,
(15)

a2n = a2n−2
22n(ν+n)
 = a2n−4
24n(n−1)(ν−n)(ν+n−1)
 = ... = a0Γ(ν+1
22nn!Γ(nu+n+1)
  .
(16)
Stąd
y(x) = a0 Γ(ν+1) xν ∞
∑
n=0 
 (x/2)2n
n!Γ(ν+n+1)
  .
(17)
Umownie wprowadza się a0=2−ν/Γ(ν+1). Wynikiem jest rozwinięcie Frobeniusa zmodyfikowanej funkcji Bessela Iν(x):
Iν(x) = ∞
∑
n=0 
 (x/2)2n
n!Γ(ν+n+1)
  .
(18)
Podobnie znajduje sią funkcje I−ν(x). Trudniejszym zadaniem jest znalezienie rozwiązań równania Bessela dla ν całkowitych. Przedyskutujemy to w jednej z dalszych części.
W przypadku α1 ≠ α2 musimy dokonać dodatkowej analizy problemu. Jeśli α1 − α2 = N jest liczbą całkowitą różną od zera, to relacja (12) jest postaci (α = α2, n=N):
0·aN = − N−1
∑
k=0 
 [(α+k) pN−k + qN−k] ak .
(19)
Mamy dwia możliwości
  1. Prawa strona (19) jest różna od zera, aN nie istnieje. Istnieje potrzeba dalszej analizy.
  2. Prawa strona (19) znika. Mamy 0=0, co nie pozwala znaleźć an. aN jest dowolną stałą. Możemy wyznaczyć an+1, an+2, ... w funkcji a0 i aN.

1.4.1  Podsumowanie

1.5  Punkty istotnie osobliwe. Analiza lokalna rozwiązań.

Dlaczego szeregi Frobeniusa (uogólnione szeregi Taylora) nie wystarczają przy opisie rozwiazań równań różniczkowych w otoczeniu nieregularnych punktów osobliwych? W otoczeniu RPO co najmniej jedno rozwiązanie równania nie posiada szeregu Frobeniusa. Popatrzmy na przykłady.
P r z y k ł a d 20.  Brak rozwiazań typu szeregu Frobeniusa. Równanie y′=x1/2y posiada PIO (punkt istotnie osobliwy, NPO) w x=0. Rozwiązaniem równania jest y(x) = a0exp(2x3/2/3)=a0∑n=0∞(2x3/2/3)n/n!. Nie jest to szereg Frobeniusa. Szeregi Frobeniusa zawierają tylko całkowite potęgi zmiennej niezależnej.
P r z y k ł a d 21.  Brak szeregu Frobeniusa. Co sie stanie gdy rozwiniemy rozwiązanie równania x3y = y w szereg Frobeniusa w x=0? Jeśli taki szereg istnieje to ∑n(n+α)(n+α−1)anxn+α−1=∑nanxn+α. Z założenia a0 ≠ 0. Porównanie współczynników przy jednakowych potęgach daje natomiast a0=0. Mamy więc sprzeczność. Nie istnieje wobec tego szereg Frobeniusa w otoczeniu x=0.
W następnym przykładzie problem braku szeregu Frobeniusa pojawia się w bardziej subtelny sposób niż to widzieliśmy dotychczas.
P r z y k ł a d 22.  NPO, w którym brak szeregu Frobeniusa. Równanie x2y" + (1+3x) y′+ y = 0 ma NPO w x=0. Co się stanie gdy spróbujemy rozwinąć rozwiązanie równania w szereg Frobeniusa (y=∑anxn+α)? Mamy
x2 ∞
∑
n=0 
 (n+α)(n+α−1)anxn+α−2+(1+3x) ∞
∑
n=0 
 (n+α)anxn+α−1 + ∞
∑
n=0 
 = 0 .
Porównanie współczynników przy równych potęgach x prowadzi do równań:
xα−1
:
αa0 = 0 ,
xn+α
:
(n+α+1)an+1+(n+α+1)2an = 0,    n=1, 2. ... .
Ponieważ w szeregu Frobeniusa a0 ≠ 0 to stąd α = 0. Dalej an+1=−(n+1)an dla n=0, 1, 2,..., czyli an=(−1)nn!a0 i rozwiązanie
y(x) = a0 ∞
∑
n=0 
 (−1)nn!xn .
Znaleźliśmy szereg Frobeniusa, lecz jak się okazuje jego promień zbieżności jest równy zero! Nie jest to więc szereg Frobeniusa.
Pojawienie się szeregu rozbieżnego jest typowe przy analizie równań różniczkowych w pobliżu PIO. Nie jest to jednak całkiem bezwartościowe. Szeregi takie używane są w celu znalezienia dokładnych rozwiązań.

File translated from TEX by TTH, version 4.08.
On 23 Dec 2015, 13:49.