0.1  Równanie o skończonej liczbie wartości własnych

Równanie Schrödingera dla potencjału
U(x)=− U0
cos h2(αx)
(1)
jest
d2y
dx2
 + 2m
ħ
⎛
⎝ 		E + U0
cos h2(αx)
⎞
⎠ 		y = 0 .
(2)
Wykonując podstawienie ξ = tanh(αx) i oznaczając
ϵ =   ____
√
−2mE
 
 /(ħα) ,

2mU0
α2 ħ2
 = s(s+1) ,    s= 1
2
 ⎛
⎜
⎜
⎝ 		−1 +   ⎛
√
1 + 8mU0
α2 ħ2
 
 ⎞
⎟
⎟
⎠ 		 ,
dostaniemy równanie
d
dξ
 ⎡
⎣ 		(1−ξ2) dy
dξ
⎤
⎦ 		+ + ⎡
⎣ 		s(s+1) − ϵ
1−ξ2
⎤
⎦ 		y = 0 .
Równanie to jest jest równaniem uogólnionych funkcji Lagrange'a. Podstawienie
y = (1−ξ2)ϵ/2 w(x)
i zamiana zmiennej u=(1−ξ)/2 prowadzą do równania dla funkcji hipergeometrycznej
u(1−u)w" + (ϵ+1)(1−2u)w′− (ϵ−s)(ϵ+s+1)w = 0 .
Rozwiązanie skończone w punkcie ξ = 1 (odpowiada to x→∞) jest postaci
y=(1−ξ2)ϵ/2 F(ϵ−s, ϵ+s+1, ϵ+1, (1−ξ)/2) .
Funkcja y powinna być również skończona dla ξ = −1 (odpowiada to x→−∞). Aby to zapewnić należy położyć ϵ−s=−n, gdzie n=0, 1, 2, ... F(...) staje się wtedy wielomianem n-tego stopnia. Poziomy energetyczne wyznacza się z warunku ϵ−s=−n. Daje to
En=− ħ2α2
8m
 ⎡
⎢
⎢
⎣ 		−(1+2m)+   ⎛
√
1+ 8mU0
α2 ħ2
 
 ⎤
⎥
⎥
⎦ 		2


 
Liczba poziomów jest określona przez warunek ϵ > 0 tj. n < s i skończona.

0.2  Funkcja hipergeometryczna

Funkcja hipergeometryczna zdefiniowana jest wewnątrz okręgu |z| < 1 szeregiem
F(α, β, γ, z) = 1+ αβ
γ
 z
1!
 + α(α+1)β(β+1)
γ(γ+1)
 z2
2!
 + ...
(3)
Przedłużenie analityczne tego szeregu poza |z| < 1 daje F dla innych z. Funkcja F jest szczególnym rozwiązaniem równania różniczkowego
z(1−z)u"+[γ−(α+β+1)z]u′−αβu = 0 .
(4)
Parametry α i β są dowolne, a γ ≠ 0, −1, −2, .... Funkcja ta oznaczana bywa również jako 2F1(α,β,γ,z). Konfluentna funkcja hipergeometryczna jest zdefiniowana równością
F(α,γ,z)=
lim
β→0 
 F(α,β,γ,z/β) .
Drugim, liniowo niezależnym rozwiązaniem równania (4) jest
z1−γF(β−γ+1,α−γ+1,2−γ,z) .
Rozwiązanie jest osobliwe w z=0. Następujący szereg jest zbieżny i stanowi przedłużenie analityczne F poza koło |z| < 1.
F(α,β,γ,z)
=
γ
β−α
 (−z)−α F(α,α+1−γ,α+1−β, 1
z
 )
    + Γ(γ)Γ(α−β)
Γ(α)Γ(γ−β)
 (−z)−β F(β,β+1−γ,β+1−α, 1
z
 ) .


File translated from TEX by TTH, version 4.08.
On 23 Dec 2015, 13:48.