1  Krótkie wprowadzenie do analizy asymptotycznej

Wprowadzimy dwa symbole, które wyrażają względne zachowanie sie dwu funkcji.
  1. Piszemy
    f(x) << g(x) ,     x→ x0 ,
    co czytamy "f(x) jest dużo mniejsza od g(x) przy x→ x0" jeśli

    lim
    x→ x0 
    		 f(x)/g(x) = 0 .
  2. Oznaczamy
    f(x)  ∼ g(x) ,    x→ x0 ,
    co czytamy "f(x) jest asymptotyczna g(x) przy x dążącym do x0" jeśli względny błąd f i g dąży do zera przy x→ x0:
    f(x) − g(x) << g(x) ,    x→ x0 ,
    a więc

    lim
    x→ x0 
    		 f(x)−g(x)
    g(x)
    		 = 0 ,
    lub

    lim
    x→ x0 
    		 f(x)
    g(x)
    		 = 0 .
Jeśli f(x) ∼ g(x) (x→ x0) to g(x) ∼ f(x) (x→ x0).
P r z y k ł a d 1. Relacje asymptotyczne.
  1. x << 1/x (x→0) .
  2. x1/2 << x1/3 (x→0).
  3. (log x)5 << x1/4 (x→∞)
  4. x1/2  ∼ 2 (x→ 4).
  5. ex+x ∼ ex (x→∞). Zauważmy, że różnica pomiędzy lewą i prawą stroną tej relacji, x, dąży do ∞ przy x→∞. Stąd, nawet jeśli funkcje są asymptotyczne to nie musza byc równe.
  6. x2  ∼ x (x→ 0) ponieważ obie funkcje osiągają zero w różnym tempie. W tym przypadku, pomimo tego, że zarówno x jak i x2 są w przybliżeniu równe zeru przy x→ 0 nie są one asymptotyczne.
  7. Błędem jest przyjęcie, że funkcja jest asymptotyczna z zerem. Np. równanie asymptotyczne x3 ∼ 0 (x→ 0) jest błędne; z definicji żadna niezerowa funkcja nie może być asymptotyczna zeru.
  8. x << −10 (x→0+) pomimo różnicy znaków.
                                            

File translated from TEX by TTH, version 4.08.
On 23 Dec 2015, 13:49.