Introduction

A study of the synthesis and properties of superheavy nuclei are both the main stream subjects of experimental nuclear physics. Researchers of LBNL in Berkeley, GSI in Darmstadt, IJNR in Dubna RIKEN and Jyväskylä discover new nuclei at the borders of the periodic system and measure basic properties (binding energies, spectroscopic data, half lives, etc.) of this nuclear systems. The existing theoretical models do not reproduce this data in a satisfactory way. In order to plan new interesting experiments one have to improve the existing nuclear models.

The main goal of the project is the description of heavy and superheavy nuclei (mass, density distribution of the nucleons, shapes) in the ground state and their decay properties like fission barriers, fission pathways, and clasters emission. The project aims to describe bimodal and multimodal fission (see eg. A. Staszczak, A. Baran, J. Dobaczewski, and W. Nazarewicz. Microscopic description of complex nuclear decay: Multimodal fission. Phys. Rev. C, 72:014309, 2009, where the trimodal fission of some even-even Rf, Sg and Hs isotopes was discovered.)

In calculations we will use selfconsistent description of Hartree-Fock plus BCS (HF+BCS) type and Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) which are based on Skyrme or Gogny interactions and consisting of short two particle state dependent correlations - state dependent pairing.

In the case of the pairing interaction we will apply projection methods constraining the particle number of nucleons and angular momentum. To do this we shall use Lipkin-Nogami type methods.

The next task is to search for toroidal nuclei and their stability.

We cooperate with the following scientific centers studying the similar subjects: Warsaw University (prof. J. Dobaczewski), Universidad Autonomia de Madrid (prof. J. Luis Egido, prof. Luis Robledo), Universidad Barcelona (prof. X. Vinas, prof. M. Centelles), Oak Ridge National Laboratory and University of Tennessee (prof. W. Nazarewicz).

Scientific goal of the project

• Ground state properties of heavy and superheavy nuclei in Skyrme/Gogny HF+BCS and/or HFB models including state dependent pairing: mass, deformations, mass parameters in Adiabatic Time Dependent Hartree-Fock-Bogoliubov (ATDHFB) model.
• Potential energy surfaces (PES) and static/dynamic pathways to fission.
• Fission, multimodal fission and claster emission.
• New heavy and superheavy nuclei - stability properties.
• PES and stability of toroidal nuclei.
• Optimization of numerical codes and their adoption to large scale computations.

Wstęp

Synteza pierwiastków superciężkich oraz badanie ich własności stanowią ważny kierunek badań eksperymentalnej fizyki jądrowej. Naukowcy z laboratoriów w Berkeley, Darmstadt, Dubnej, RIKEN i Jyväskylä dokonują odkryć nowych jąder pierwiastków z granic układu okresowego, jak również przewidują ich podstawowe własności, takie jak: energie wiązania, dane spektroskopowe, połowiczne czasy zaniku itp. Stwierdzić jednak należy, że w większości przypadków uzyskiwane dane doświadczalne nie są odtwarzane w zadowalający sposób przez istniejące modele teoretyczne. Dysponowanie lepszymi modelami teoretycznymi jest niezbędne do planowania kolejnych eksperymentów naukowych.

Głównym celem projektu jest opis własności (mas, rozkładów gęstości nukleonów, kształtów równowagi) jąder ciężkich i superciężkich w stanach podstawowych, jak również własności ich rozpadów, barier i ścieżek do rozszczepienia oraz emisji klastrów. W ramach projektu opisane zostaną także specyficzne typy rozpadów jąder, takie jak bimodalne rozszczepienie nuklidów z obszaru A=258 (gdzie pojawia się dodatkowa składowa w rozkładach gęstości energii kinetycznej fragmentów) oraz ostatnio przewidziane przez autorów projektu rozszczepienie trimodalne parzysto-parzystych izotopów Rf, Sg i Hs [A. Staszczak, A. Baran, J. Dobaczewski, and W. Nazarewicz. Microscopic description of complex nuclear decay: Multimodal fission. Phys. Rev. C, 72:014309, 2009]. W planowanych badaniach zastosowane zostaną

Zespół posiada doświadczenie w teoretycznym opisie własności jąder atomowych z zastosowaniem obu wspomnianych powyżej modeli samozgodnych. W dotychczasowych badaniach pokazaliśmy, że modele samozgodne, które w jednolity sposób opisują układy jądrowe wielu ciał, są bardziej odpowiednie niż modele makroskopowo-mikroskopowe (MM). W przypadku jąder superciężkich eksperymentalne energie wiązania są lepiej odtwarzane w modelach samozgodnych HF+BCS i HFB niż w półklasycznym modelu MM. Pilotażowe badania barier i czasów połowicznego zaniku w procesie spontanicznego rozszczepienia tych jąder pokazały, że zastosowanie różnych modeli sił pairing zerowego zasięgu (zależnych od stanów jednocząstkowych oddziaływujących nukleonów) zamiast zwykle stosowanych sił monopol-pairing ma zasadniczy wpływ na parametry masowe i bariery na rozszczepienie [Baran, Łojewski, Sieja, 2004], a w końcowym efekcie na czasy połowicznego zaniku. Jednym z zadań projektu będą systematyczne obliczenia dotyczące mas, deformacji równowagi, wysokości barier oraz czasów życia ze względu na spontaniczne rozszczepienie ciężkich i superciężkich jąder atomowych w modelach samozgodnych HF+BCS i HFB z oddziaływaniami pairing zerowego zasięgu.

Kolejnym zadaniem w ramach projektu będzie udoskonalenie sposobu rozwiązywania zagadnienia pairing poprzez zastosowanie metod rzutowania pozwalających na zachowanie właściwej liczby cząstek oraz momentu pędu. Dotychczas nie wykonano obliczeń wymienionych wyżej własności z zachowaniem wszystkich symetrii układów jądrowych - najpowszechniej stosowane przybliżenia i metody (np. BCS) łamią symetrię liczby cząstek i symetrię obrotową. Zastosowanie przybliżonej metody rzutowania Kamlah’a-Lipkina-Nogamiego oraz dokładnej metody rzutowania pozwoli na bardziej wierne odtworzenie własności jądrowych.

Przewiduje się, że minima energii potencjalnej niektórych jądrer superciężkich odpowiadają kształtom o geometrii toroidalnej. Zamierzamy podjąć badania stabilności tego typu egzotycznych jąder.

Badania będą prowadzone we współpracy z ośrodkami naukowymi zajmującymi się teorią jądra atomu, zarówno krajowymi - Uniwersytet Warszawski (prof. J. Dobaczewski), jaki i zagranicznymi: Universidad Autonomia de Madrid (prof. J. Luis Egido, prof. Luis Robledo), Universidad Barcelona (prof. X. Vinas, prof. M. Centelles), Oak Ridge National Laboratory i University of Tennessee (prof. W. Nazarewicz).

Cel naukowy projektu

• Poznanie równowagowych własności jąder ciężkich i superciężkich w modelach samozgodnych Skyrme’a i Gogny’ego z objętościowo-powierzchniowymi oddziaływaniami pairing zależnymi od stanu. Obliczenia mas, deforomacji równowagi, obliczenia parametrów masowych dla rozszczepienia w modelu Adiabatic Time Dependent Hartree-Fock- Bogoliubov (ATDHFB) dla różnych więzow multipolowych.
• Wyznaczenie powierzchni energii potencjalnych (PES) oraz statycznych i dynamicznych ścieżek do rozszczepienia jąder ciężkich i superciężkich w modelach samozgodnych Skyrme’a i Gogny’ego.
• Zbadanie i dyskusja spontanicznego rozszczepienia, emisji klastrów oraz czasów życia ze względu na rozszczepienie w modelach samozgodnych dla jąder ciężkich. Dyskusja typów rozszczepienia. Opis zjawiska rozszczepienia bimodalnego i trimodalnego.
• Poznanie spontanicznego rozszczepienia i czasów życia w modelach samozgodnych jąder superciężkich. Przewidywania dotyczące nowych pierwiastków superciężkich. Zagadnienia stabilności najcięższych jąder atomowych.
• Badanie energii potencjalnej i stabilność jąder toroidalnych.
• Optymalizacja kodów numerycznych i ich przystosowanie do obliczeń wielkoskalowych.

Znaczenie projektu

Projekt dotyczy zagadnień teoretycznego wyjaśnienia zjawisk związanych z rozszczepieniem (spontaniczne, multiomodalne, emisja klastrów) oraz egzotyczną strukturą (geometria toroidalna) jąder superciężkich i jako taki ma głównie charakter teoriopoznawczy. Rozszczepienie multimodalne oraz emisja klastrów to zjawiska, których zrozumienie pozwoli dokładniej przewidywać wyniki reakcji jądrowych. W tym sensie wyniki badań będą wskazówką dla dalszego rozwoju jądrowej fizyki doświadczalnej. Można bowiem twierdzić, że badania eksperymentalne emisji klastrów, rozszczepienia multimodalnego i egzotycznych konfiguracji toroidalnych dostarczą wiedzy o rzeczywistości jądrowej. Projekt zakłada również optymalizację warsztatu obliczeniowego, co w przyszłości pozwoli na prowadzenie dalszych obliczeń w tej dziedzinie.

Istniejący stan wiedzy w zakresie tematu badań

(Komentarz. Literatura przedmiotu jest bardzo obszerna i nie podajemy jej w komplecie. Częściowe osiągnięcia w tej tematyce autorów projektu obrazują spisy literatury podane w ankietach personalnych wykonawców projektu oraz w literaturze na końcu niniejszego opracowania. Obszerny przegląd metod samozgodnych Hartree’go-Focka i ich dotychczasowych zastosowań w opisie struktury jąder atomowych można znaleźć w przeglądowych pracach [1-5]. Doświadczalne problemy i historię odkryć superciężkich przedstawiono natomiast w przeglądowej pracy [6])

Eksperymenty wykonane w Dubnej, Darmstadt i Berkeley, RIKEN w Japonii oraz w Jyvaskyla potwierdziły istnienie przewidzianej wcześniej teoretycznie wyspy stabilności w obszarze jąder superciężkich [6 i cytowane tam prace]. Wciąż jednak pozostaje pytanie, jak duży jest ten obszar i czy istnieją w nim pierwiastki długożyciowe. Jaka jest systematyka tych obserwabli. Odpowiedzi na nie mogą udzielić przewidywania teoretyczne, których poprawność można zweryfikować w oparciu o istniejące obecnie dane doświadczalne.

Oddziaływania resztkowe w kanale cząstka-cząstka (pairing)

Dotychczasowe badania mające na celu zarówno opis własności, jak i rozszczepienia jąder atomowych głównie w modelach makroskopowo-mikroskopowych zawierały poprawki pairing oparte na prostym modelu, zakładającym, że oddziaływanie to jest tak samo silne dla każdego nukleonu w jądrze, bez względu na stan energetyczny w jakim się on znajduje. Tego typu podejście prowadzi do uśrednienia własności nadprzewodnikowych jądra i nie uwzględnia struktury par nukleonowych, jak też nie bierze pod uwagę zależności od gęstości cząstek. Zastosowanie oddziaływania pairing zależnego od stanu (siły delta zależne od gęstości) pozwali na lepsze odtworzenie tej struktury.

Deformacje równowagi, struktura i stabilność

Wyznaczając powierzchnie energii jądrowej jesteśmy w stanie przewidzieć położenia równowagi jąder (ich kształty, a więc również momenty multipolowe rozkładu ładunku w jądrze) oraz ich promienie.

Modele samozgodne Hartree’go-Focka z siłami Gogny’ego i Skyrme’a dają najlepsze średnie promienie kwadratowe jąder atomowych. Zamierzamy wykorzystać ten fakt i zbadać równowagowe rozmiary jąder w wymienionym obszarze.

Struktura jednocząstkowa w obszarze równowagowym, jak też prawdopodobieństwa rozpadów różnego rodzaju, określają stabilność jąder, wyznaczając tzw. liczby magiczne. Określimy te prawdopodobieństwa w oparciu o samozgodne modele Skyrme’a i Gogny’ego.

Masy jąder atomowych

Jak pokazano, zastosowanie poprawki pairing opartej na siłach delta zależnych od stanu i gęstości nukleonów pozwala na określenie mas jądrowych z dokładnością porównywalną do najlepszych istniejących obecnie modeli mas. Zastosowanie tego typu oddziaływań wpływa również na wysokości barier na rozszczepienie i poprawia czasy życia jąder superciężkich.

Do oszacowania mas, deformacji równowagi, barier na rozszczepienie i czasów życia jąder superciężkich zamierzamy zastosować w pełni samozgodny rachunek oparty na oddziaływaniach Skyrme’a, Gogny’ego oraz na modelu relatywistycznego średniego pola ze zmodyfikowanymi oddziaływaniami pairing zależnymi od stanu i gęstości; pairing objętościowo-powierzchniowy przy uwzględnieniu poprawek związanych z zachowaniem dobrej liczby cząstek i momentu pędu. Poprawione o energie rotacyjne i energie drgań zerowych stany podstawowe pozwolą ulepszyć systematykę mas jąder i/lub wskazać nowe kierunki badań. Zespół uczestniczący w projekcie posiada bogate doświadczenia związane z obliczeniami poprawek rotacyjnych i wibracyjnych.

Parametry masowe [22-23]

Opis rozszczepienia nie jest możliwy beż znajomości dynamicznych charakterystyk procesu. Takimi są parametry masowe. Dotychczas, podobnie jak bariery na rozszczepienie, były one obliczane głównie w modelach makroskopowo-mikroskopowych, ze względu na łatwość rachunkow. Były to parametry z najprostszego modelu dynamiki jądrowej, a mianowicie modelu cranking. W obecnym projekcie proponujemy obliczenie ich w kilku modelach. Są one oparte na najbardziej ogólnej teorii ruchów adiabatycznych (Adiabatic Time Dependent Hartree-Fock-Bogoliubov (ATDHFB) theory). W jej ramach otrzymaliśmy już odpowiednie formuły, które zostały w części sprawdzone, na parametry masowe. Są one oparte na różniczkowaniu macierzy gęstości i/lub macierzy korelacji. Pierwsze prace pokazały zasadność takiego podejścia. Przykładowe wartości parametrów masowych dla jąder fermu pokazane są na rysunku.

Specyficzne typy rozszczepienia [8-13,19-21,25]

Samozgodne modele Hartree’ego-Focka i Hartree’ego-Focka-Bogolubowa z efektywnymi siłami Gogny’ego i Skyrme’a przy zadanych więzach kwadrupolowych (i wyższych multipolowości) generują bariery na rozszczepienie oraz stabilne konfiguracje jądrowe, których nie da sie otrzymać przez zastosowanie modeli makroskopowo-mikroskopowych. Energie wyliczonych samozgodnie konfiguracji są najniższe z możliwych i charakteryzują się zupełnym zestawem deformacji multipolowych. Pozwala to w pełni opisać rozszczepienie i egzotyczne, np. toroidalne układy kształtów. Już teraz, stosując proste więzy, wiemy (patrz podana literatura), że czasy życia, eksperymentalnie znane, ze względu na rozszczepienie spontaniczne, są prawie odtwarzane. Należy sądzić, że można tę zgodność poprawić przy zastosowaniu bardziej dokładnych analiz (patrz wyniki obliczeń dla izotopów fermu, Rysunek).

Należy zaznaczyć, że bariery zawierać będą korekcje związane z drganiami zerowymi układu (tzw. zero point energies, ZPE) oraz korekty rotacyjne związane z niezachowaniem momentu pędu w układzie. Korekty te można obliczyć pod warunkiem, że znamy parametry masowe oraz momenty bezwładności jąder. Jesteśmy w posiadaniu modeli oraz numerycznych kodów (narzędzi) potrzebnych do ich wyznaczenia.

Na przestrzeni ostatnich kilkudziesięciu lat spontaniczne rozszczepienie jąder atomowych było badane zarówno od strony eksperymentalnej jak i teoretycznej. Odkryto, że proces przebiega różnie dla różnych jąder, dając jakościowo odmienne wyniki doświadczeń [4,7]. Rozkład mas jąder w procesie rozszczepienia i rozkład całkowitej energii kinetycznej fragmentów pozwala wyróżnić kilka typów rozpadów w rejonie Z~100:

• symetryczne ze względu na masy fragmentów (np. 260Rf).
• niesymetryczne ze względu na masy fragmentów (np. 252Cf, 256Fm);
• bimodalne symetryczne, w którym oba kanały rozpadu mają symetryczny rozkład mas wokół A≈130, ale różnią się średnią wartością całkowitej energii kinetycznej fragmentów (np. 258Fm) [7];
inne, multimodalne.

Proces roszczepienia zależy od kształtu drugiej bariery potencjału [8-13]. W obszarze tym mogą pojawić się różne ścieżki prowadzące do rozpadu. Jedna z nich (kształty odbiciowo symetryczne) prowadzi do rozszczepienia na fragmenty o równych masiach i dużej całkowitej energii kinetycznej. Inna (kształty odbiciowo asymetryczne) prowadzi do rozpadu na nierówne fragmenty z mniejszymi wartościami całkowitej energii kinetycznej. Topografia ścieżek ma decydujące znaczenie dla własności rozszczepienia [8,13,25]. Poprawny opis teoretyczny zależności pomiędzy kształtem powierzchni energii potencjalnej w rejonie drugiej bariery, a właściwościami rozszczepienia nie został do tej pory przeprowadzony.

W ramach obecnego projektu planowane jest dokładne przeanalizowanie topologii powierzchni energii potencjalnej przykładowych jąder reprezentujących różne typy rozszczepienia (252Cf, 256Fm, 258Fm, 260Rf). Badane będą zarówno rozwiązania przed, jak i po rozpadzie jądra na dwa fragmenty.

Otrzymane wyniki pozwolą zrozumieć przyczynę powstania różnic w spontanicznym rozszczepieniu jąder o zbliżonych masach. Wyjaśniona zostanie przyczyna powstania asymetrycznego bądź symetrycznego rozkładu masy fragmentów rozszczepienia. Wiedza ta może być wykorzystana do analizy stabilności i właściwości jąder superciężkich. Rezultaty obliczeń kształtów fragmentów jądra tuż po rozpadzie mogą być również przydatne do lepszego opisu procesu fuzji jąder zdeformowanych.

Projekt przewiduje też dokładne zbadanie zjawiska trimodalnego rozszczepienia przewidzianego niedawno przez autorów projektu [25]. Wymaga to dalszych studiów i badań jak też opisu dynamicznego, gdzie na pewno uda się stwierdzić czy przewidywania te są trafne. Opis dynamiczny jest możliwy dzięki jednolitemu podejściu, w którym mamy jednocześnie bariery na rozszczepienie i parametry masowe.

Emisja klastrów [17-18]

Jednym z egzotycznych procesów jądrowych jest emisja klastrów (lekkich jąder) z jąder aktynowców. Proces ten odkryty stosunkowo niedawno (Rose, Jones, Nature 1984) może być z powodzeniem opisywany jako spontaniczne rozszczepienie o bardzo dużej asymetrii fragmentów. Bardzo wysokie bariery na rozszczepienie odpowiadające takim rozpadom znalezione dla niektórych zbadanych doświadczalnie jąder generują bardzo długie czasy życia, co odpowiada wynikom doświadczalnym.

Jądra toroidalne [14-16]

W obszarze deformacji kwadrupolowej typu “oblate” (płaskie kształty) istnieją obszary, dla których w przypadku wielu jąder atomowych przewidujemy stabilne rozwiązania HF z powierzchnią jądrową o genusie 1, co odpowiada kształtom toroidalnym. Rozwiązanie to przewidziano wcześniej w modelu Skyrme’a [15,16]. Stabilność takich rozwiązań jest jednym z zadań projektu. Optymalizacja numerycznych obliczeń samozgodnych [24].

Programy numeryczne i ich optymalizacja

Program numeryczny, którym dysponujemy jest rozszerzonym przez nas o obliczenia parametrów masowych kodem HFODD (wersja opublikowana). Drugi program to kod realizujący obliczenia z siłami Gogny’ego o skończonym zasięgu. Pomimo swojej efektywności, kody te wciąż wymagają optymalizacji, szczególnie w przypadku obliczeń masowych, wielkoskalowych, które są niezbędne przy opisie rozszczepienia. Dotychczasowe prace nad optymalizacją doprowadziły do implementacji metody Broydena [24], która kilkakrotnie zwiększyła efektywność rachunków (patrz Rysunek).

Projekt zakłada dalszą optymalizację kodów numerycznych oraz ich paralelizację dla celów obliczeń wielkoskalowych.

Metodyka badań

Metodyka badań oparta jest o samozgodne modele Hartree’ego-Focka z oddziaływaniami Skyrme’a i Hartree’go-Focka-Bogoliubowa z oddziaływaniami Gogny’ego. Dodatkowo, włączono do badań nowe, resztkowe oddziaływania w kanale cząstka-cząstka, które zależą od gęstości nukleonowych, tzw. density dependent delta interactions (DDDI). Jednocześnie, w sposób naturalny, zostają włączone do opisu egzotyczne obszary deformacji jądrowych, a to poprzez więzy w przestrzeni momentów multipolowych o skończonej liczbie wymiarów (dwa lub trzy więzy; określone momenty: kwadrupolowy, oktupolowy oraz heksadekapolowy). Pozostałe deformacje ustalają się w procesie samouzgadniania. W dotychczasowych badaniach własności jąder superciężkich metodyka opierała się na modelu makroskopowo-mikroskopowym z określoną rodziną kształtów jądrowych.

Zespół przystępujący do realizacji niniejszego projektu aktywnie uczestniczył w badaniach tego rodzaju i posiada duże osiągnięcia na tym polu (np. metoda dynamicznych obliczeń czasów życia ze względu na spontaniczne rozszczepienie, wyznaczanie czasów życia jąder nieparzystych zarówno w kanale emisji klastrów, jak i rozszczepienia). Te doświadczenia będziemy chcieli wykorzystać w projekcie. Jednocześnie zespół, który będzie pracować nad projektem, ma duże osiągnięcia w rozwoju badań własności jąder ciężkich oraz w obliczeniach metodami samozgodnymi. To wróży sukcesy w tematyce podjętej w projekcie.

Grupa realizująca projekt dysponuje unikalnymi, w skali światowej, kodami numerycznymi, które jednolicie i samozgodnie wyznaczają powierzchnie energii jądrowych wraz z poprawkami dla energii zerowej oraz rotacyjnej. Kody te wyliczają też odpowiednie parametry masowe (cranking, gaussian overlap approximation, ATDHFB). Są to programy oparte na oddziaływaniach Skyrme’a i oddziaływaniu Gogny’ego. Daje to podstawę realizacji obliczeniowej części projektu i pozwala również na prowadzenie prac porównawczych dotyczących modeli samozgodnych. Rezultaty badań zostaną przedstawione w formie publikacji w międzynarodowych czasopismach fizycznych i będą prezentowane na konferencjach naukowych poświęconych fizyce jądrowej zarówno krajowych, jak i zagranicznych.

Wymierny, udokumentowany efekt podjętego problemu

Rezultaty badań zostaną przedstawione w formie publikacji w międzynarodowych czasopismach fizycznych i będą prezentowane na konferencjach naukowych poświęconych fizyce jądrowej. Wyniki prac będą przekazywane fizykom doświadczalnym zajmującymi się jądrami superciężkimi.

1. A. Sobiczewski, K. Pomorski, Prog. Part. Nucl. Phys. 58 (2007) 292.
2. M. Bender, P.-H. Heenen, P.G. Reinhardt, Rev. Mod. Phys. 75 (2003) 121.
3. C. Wagemans, The Nuclear Fission Process, CRC Press, Boston, London, 1991.
4. D.C. Hoffman, Nucl.Phys. A502 (1989) 21c.
5. F. Gönnenwein, Nucl.Phys. A654 (1999) 855c.
6. Y. Oganessian, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 34 (2007) R165.
7. E.K. Hulet, et al., Phys.Rev. C40 (1989) 770.
8. M. Warda, J.L.Egido, L.M.Robledo, K.Pomorski, Phys. Rev. C66 (2002) 014310.
9. J.F. Berger, K. Pomorski, Phys. Rev. Lett. 85 (2000) 30.
10. J.F. Berger, M. Girod, D. Gogny, Nucl. Phys. A428 (1984) 23c.; A502 (1989) 85c.
11. H. Goutte, J.F. Berger, P. Casoli, D. Gogny, Phys. Rev. C71 (2005) 024316.
12. Z. Patyk, A. Baran, J.F. Berger, J. Dobaczewski J. Decharge, P. Ring, A. Sobiczewski. Phys. Rev. C59 (1999) 704.
13. A. Staszczak, J. Dobaczewski, W. Nazarewicz, Int. J. Mod. Phys. E14 (2005) 395.
14. C.Y. Wong, Ann. Phys. (N.Y.) 77 (1973) 279.
15. M. Warda, Int. J. Mod. Phys. E16 (2007) 452.
16. A. Staszczak, C. Y. Wong, Acta. Phy. Pol. B40 (2009) 1001
17. H.J. Rose, G.A. Jones, Nature 307 (1984) 245.
18. L.M. Robledo, M. Warda, Int. J. Mod. Phys. E17 (2007) 204; E17 (2007) 2275.
19. P. Moeller, R. Nix. W. Świątecki, Nucl. Phys. A492 (1989) 349.
20. P. Moeller, D.G. Madland. A.J. Sierk, A. Iwamoto, Nature 409 (2001) 785.
21. S. Ćwiok, P. Rozmej, A. Sobiczewski, Z. Patyk, Nucl. Phys A491 (1989) 281.
22. M.J. Giannoni., P. Quentin, Phys. Rev. C21 (1980) 2060; C21 (1980) 2076.
23. E. Yuldashbaeva, J. Libert, P. Quentin, M. Girod, Phys. Lett. B461 (1999) 1.
24. A. Baran, A. Bulgac, M. McNeil Forbes, G. Hagen, W. Nazarewicz, N. Shunk, M. Stoisov: Broyden’s method in nuclear structure calculations. Phys. Rev. C78 (2008) 014318. DOI: 10.1103/PhysRevC.78.014318.
25. A. Staszczak, A. Baran, J. Dobaczewski, W. Nazarewicz: Microscopic description of complex nuclear decay: Multimodal fission. Phys. Rev. C 80, 014309 (2009). DOI: 10.1103/PhysRevC.80.014309.